إذا كان فإن ناتج الضرب الداخلي للمتجهين

إذا كان فإن ناتج الضرب الداخلي للمتجهين.
الإجابة الصحيحة هي : -٣٢.

إذا كان فإن ناتج الضرب الداخلي للمتجهين

يُعد الضرب الداخلي إحدى العمليات الرياضية الأساسية التي تُستخدم في الجبر الخطي والهندسة. إنه يسمح لنا بقياس مدى تشابه متجهين أو مدى عموديتهما. يعتمد الضرب الداخلي لمتجهين على طولهما والزاوية بينهما.

تعريف الضرب الداخلي

الضرب الداخلي لمتجهين u و v في فضاء متجهي حقيقي n-الأبعاد هو رقم حقيقي يُرمز له بـ u ⋅ v ويُعرَّف على النحو التالي:

“`

u ⋅ v = ∑(i=1 to n) u_i v_i

“`

حيث u_i و v_i هي مكونات المتجهين u و v على التوالي.

خصائص الضرب الداخلي

يتميز الضرب الداخلي بالعديد من الخصائص المهمة، منها:

التماثل: u ⋅ v = v ⋅ u

التوزيعية على الجمع: u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w

التوزيعية على الضرب القياسي: (αu) ⋅ v = α(u ⋅ v)

الطول: ‖u‖² = u ⋅ u

عدم السلبية: u ⋅ u ≥ 0

إلغاء المتجهات العمودية: إذا كان المتجهان u و v عموديين، فإن u ⋅ v = 0

تطبيقات الضرب الداخلي

للضرب الداخلي العديد من التطبيقات في الرياضيات والفيزياء، منها:

إيجاد الزاوية بين متجهين: يمكن استخدام الضرب الداخلي لإيجاد الزاوية θ بين متجهين u و v على النحو التالي:

“`

cos(θ) = (u ⋅ v) / (‖u‖ ‖v‖)

“`

قياس التشابه بين المتجهات: يمكن استخدام الضرب الداخلي لقياس التشابه بين متجهين. فكلما زادت قيمة u ⋅ v، زاد التشابه بين المتجهين.

حساب المسافة بين النقاط: يمكن استخدام الضرب الداخلي لحساب المسافة بين نقطتين في الفضاء الإقليدي.

إيجاد المعادلة المعيارية للمستوي: يمكن استخدام الضرب الداخلي لإيجاد المعادلة المعيارية للمستوي المار بنقطة معينة وعمودي على متجه معين.

مثال

لنفرض أن لدينا متجهين u = (2, 1, 3) و v = (1, 0, -2). فإن الضرب الداخلي لهذين المتجهين هو:

“`

u ⋅ v = (2)(1) + (1)(0) + (3)(-2) = -3

“`

باستخدام خصائص الضرب الداخلي، يمكننا إظهار أن:

u ⋅ v = v ⋅ u = -3 (التماثل)

(2u) ⋅ v = 2(u ⋅ v) = -6 (التوزيعية على الضرب القياسي)

يُعد الضرب الداخلي أداة رياضية قوية لها مجموعة واسعة من التطبيقات. إنه يسمح لنا بقياس تشابه المتجهات، وإيجاد الزوايا بينها، وحساب المسافة بين النقاط، والعديد من العمليات الأخرى المفيدة. إن فهم الضرب الداخلي ضروري لجميع الطلاب الذين يدرسون الجبر الخطي أو الهندسة.