( إذا كان المثلثان ا ب ج و س ص ع متشابهان وكان ا ب = 10 س ص = 2 س ع = 6 فان ا ج = )
المثلثات المتشابهة
في الهندسة، المثلثان المتشابهان هما مثلثان لهما نفس الشكل ولكن أحجام مختلفة، أي أنهما لهما نفس الزوايا ونسب الضلع متساوية.
علاقة أضلاع المثلثات المتشابهة
إذا كان المثلثان أ ب ج وس ص ع متشابهين، فإن أضلاعهما متناسبة، أي:
- أ ب / س ص = ب ج / ص ع = ا ج / س ع
خصائص المثلثات المتشابهة
تتميز المثلثات المتشابهة بالخصائص التالية:
- الأضلاع المتقابلة متناسبة.
- نسب منصفات الزوايا متساوية.
- نسب مساحات المثلثات متساوية لمربع نسبة أضلاعها المتقابلة.
الاستخدامات العملية للمثلثات المتشابهة
تستخدم المثلثات المتشابهة في العديد من المجالات العملية، مثل:
- رسم الخرائط
- الملاحة
- تصميم الجسور والمباني
مبرهنة فيثاغورس للمثلثات المتشابهة
تنص مبرهنة فيثاغورس على أنه في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، أي:
- أ ج² = أ ب² + ب ج²
مبرهنة فيثاغورس للمثلثات المتشابهة
إذا كان المثلثان أ ب ج وس ص ع متشابهين وكان أ ب = 10 و س ص = 2 و س ع = 6، فإن:
إيجاد أ ج باستخدام نسب أضلاع المثلثات المتشابهة
بما أن المثلثين متشابهين، فإن نسب أضلاعهما متساوية، أي:
- أ ب / س ص = ب ج / ص ع = ا ج / س ع
بالتعويض في المعادلة وإيجاد قيمة أ ج، نحصل على:
- 10 / 2 = ب ج / 6 = ا ج / 6
- أ ج = 10 6 / 2 = 30
إيجاد أ ج باستخدام مبرهنة فيثاغورس
بما أن المثلث أ ب ج قائم الزاوية، يمكننا استخدام مبرهنة فيثاغورس لإيجاد أ ج:
- أ ج² = أ ب² + ب ج²
- أ ج² = 10² + ب ج²
- أ ج² = 100 + ب ج²
وبما أن ب ج / ص ع = ا ج / س ع، فإن:
- ب ج = 10 ص ع / 2 = 10 6 / 2 = 30
بالتعويض في المعادلة، نحصل على:
- أ ج² = 100 + 30²
- أ ج² = 100 + 900
- أ ج² = 1000
- أ ج = √1000 = 10√10
الخاتمة
المثلثات المتشابهة هي أداة قوية لحل العديد من المشاكل الهندسية، وتستخدم على نطاق واسع في مجموعة متنوعة من المجالات العملية، بما في ذلك الرسم، والملاحة، والهندسة المعمارية. يمكن استخدام نسب أضلاع المثلثات المتشابهة وخصائصها الأخرى لحساب أبعاد الأشكال المجهولة واستنتاج معلومات حول علاقاتها.